...有定义,试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界...

发布网友发布时间：2024-10-23 19:43

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热心网友时间：2024-11-10 04:15

【答案】：必要性：
因为，f(x)在X上有界
即，存在M>0，对任意x∈X，有|f(x)|<M
则，对任意x∈X， -M< f(x)<M
所以，f(x)在X上，既有上界M，又有下界-M
充分性：
因为，f(x)在X上既有上界又有下界
由确界定理知f(x)在X上既有上确界F，又有下确界G
则，对任意x∈X，G-1< G≤f(x)≤F<F+1
令，M＝max{|G-1|，|F+1|}
则，对任意x∈X， |f(x)|<M成立
所以，函数f(x)在X上有界

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