a,b,c是一个锐角三角形的三条边长,求证a^2+b^2>C^2(勾股定理)

发布网友 发布时间：2024-10-23 23:00

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热心网友 时间：2024-11-06 00:17

锐角三角形ABC
AB=c AC=b BC=a
以B为顶点，旋转AB边，使AB垂直于BC
连接A'C
所以角CAA'为钝角
所以A'C>AC(大角对大边）
因为A'C^2=a^2+b^2
所以a^2+b^2>C^2

热心网友 时间：2024-11-06 00:19

通分得：(a+c)/ac=2/b
b(a+c)=2ac

三角形的任意两边之和比大于第三边
所以a+c>b〉0

两边同乘以b
得：b^2<b(a+c)
又因为b(a+c)=2ac
所以b^2<2ac

因为a^2+c^2>=2ac (均值定理)
所以a^2+c^2>b^2

由余弦定理的：
B角必定是锐角

热心网友 时间：2024-11-06 00:17

本题目是想通过勾股定理来证明 是吧？
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从顶点 A 向BC做垂线。 垂足为 D

若 D 在 BC 延长线上，那么
∠ACB 是 直角三角形 ADC 的外角，
∠ACB > ∠ADC = 90 度， 与 ABC 是锐角三角形相矛盾
因此 D 不在 BC 延长线上。

同理 D 也不在 CB 延长线上。

若 D 与 C 或 B 重合，则导致三角形 ABC 是直角三角形。

因此 D 在 BC 范围之内
BD < BC = a

三角形 ADC 是直角三角形，AC 是斜边，所以
AD < AC = b

三角形 ADB 是直角三角形，根据勾股定理
c^2 = AD^2 + BD^2
因为 AD < b, BD < a
所以
c^2 < a^2 + b^2