北京理工大学附属中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． “ab3”是“圆x2y22x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．

2． 已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} 3． 设为全集，

D．{﹣1，1}

是集合，则“存在集合使得是“”的（ ）

A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件

D既不充分也不必要条件

4． 在等比数列{an}中，a1an82，a3an281，且数列{an}的前n项和Sn121，则此数列的项数n等于（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.

5． 在ABC中，角A，B，C的对边分别是，，，BH为AC边上的高，BH5，若

20aBC15bCA12cAB0，则H到AB边的距离为（ ）

A．2 B．3 C.1 D．4 6． 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ） A.

1 6 B.

1 C. 1 3

D.

43

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【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 51015xy20y7． 已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）

xxy70A．[,6] B．(,][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

95952y28． 圆(x-2)+y=r（r>0）与双曲线x-=1的渐近线相切，则r的值为（ ） 3A．2 B．2 C．3 D．22 222【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．1616321632 B．16 C．8 D．8 3333

【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 10．已知向量a(t,1)，b(t2,1)，若|ab||ab|，则实数t（ ） A.2

B.1

C. 1

D.

2

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【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 11．已知全集UR，集合A{x||x|1,xR}，集合B{x|2x1,xR}，则集合AA.[1,1] B.[0,1] C.(0,1] D.[1,0) 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.

12．已知a(2,1)，b(k,3)，c(1,2)c(k,2)，若(a2b)c，则|b|（ ） A．35 B．32 C．25 D．10 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

CUB为（ ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．设

,则

的最小值为 。 14．如图所示，圆C中，弦AB的长度为4，则AB×AC的值为_______．

CAB

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 15．已知f（x）＝x（ex＋ae－x）为偶函数，则a＝________． 16．已知tan()3，tan(4)2，那么tan . 三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc). （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

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18．（本小题满分12分）已知函数f(x)mlnx(42m)x（1）当m2时，求函数f(x)的单调区间； 取值范围．

【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．

19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.

（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.

1(mR)． x（2）设t,s1,3，不等式|f(t)f(s)|(aln3)(2m)2ln3对任意的m4,6恒成立，求实数a的

20．

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（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；

（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．

21．已知等差数列

满足：=2，且，的通项公式。

成等比数列。

若存在，求n的最小

（1） 求数列（2）记为数列

的前n项和，是否存在正整数n，使得

值；若不存在，说明理由.

x2y2222．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，P(1,)是椭圆上

ab2一点，且2|PF1|,|F1F2|,2|PF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；、

（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得QAQB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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716

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北京理工大学附属中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】A 【

解析】

2． 【答案】B

【解析】解析：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}， ∵B={x|﹣2＜x＜2}， ∴A∩B={﹣1，0，1}， 3． 【答案】C

【解析】由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，

∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件。 4． 【答案】B

5． 【答案】D 【解析】

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考

点：1、向量的几何运算及平面向量基本定理；2、向量相等的性质及勾股定理.

【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理、向量相等的性质及勾股定理，属于难题，平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，注意两个向量的差

OAOBBA，这是一个易错点，两个向量的和OAOB2OD（D点是AB的中点）,另外，要选好基底

向量，如本题就要灵活使用向量AB,AC，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等. 6． 【答案】D 【

解

析

】

7． 【答案】A 【解析】

B(1,6)，试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2第 8 页，共 15 页

考点：简单的线性规划的非线性应用． 8． 【答案】C

9． 【答案】D 【

解

析

】

10．【答案】B

【解析】由|ab||ab|知，ab，∴abt(t2)110，解得t1，故选B. 11．【答案】C.

，，B(,0]，∴A【解析】由题意得，A[11]12．【答案】A 【

解

CUB(0,1]，故选C.

析

】

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】9

【解析】由柯西不等式可知14．【答案】8

15．【答案】

【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立， 即（－x）（e－x＋aex）＝x（ex＋ae－x）， ∴a（ex＋e－x）＝－（ex＋e－x），∴a＝－1. 答案：－1 16．【答案】【解析】

试题分析：由tan(4 34)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan第 10 页，共 15 页

134． 131333考点：两角和与差的正切公式．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

3bcc2， 即b2c2a23bc. 3分

b2c2a23 由余弦定理得：cosA，又A(0,)，故A. 6分 62bc21 （Ⅱ） ABC的面积为3，bcsinA3，bc43①， 8分

2 又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分 由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

17．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a218．【答案】 【解析】（1）函数定义域为(0,)，且f(x)令f(x)0，得x1m1(2x1)[(2m)x1]242m． 2xxx11，x2，………………2分 22m当m4时，f(x)0，函数f(x)的在定义域(0,)单调递减； …………3分 1111当2m4时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x或x， 22m22m1111)，递减区间为(0,)，(,)； 所以函数f(x)的单调递增区间为(,22m22m1111x；由f(x)0，得0x当m4时，由f(x)0，得或x， 2m22m21111,)，递减区间为(0,)，(,)．………5分 所以函数f(x)的单调递增区间为(2m22m2综上所述，m4时，f(x)的在定义域(0,)单调递减；当2m4时，函数f(x)的单调递增区间为111111(,)，递减区间为(0,)，(,)；当m4时，函数f(x)的单调递增区间为(,)，22m22m2m211)，(,)．………6分 递减区间为(0,2m2第 11 页，共 15 页

请

考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 19．【答案】（1）【解析】

233小时；（2）． 314试

题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t. 由余弦定理得：BCABAC2ABACcosBAC， 所以(21t)10(9t)2109t()，

2222221225或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.

322（2）由AC96，BC2114.

332化简得36t9t100，解得t第 12 页，共 15 页

在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为

ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 20．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.

又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，

设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得 DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.

1即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×，

2∴x2－y2＝4－2y，①

由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②

由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 21．【答案】见解析。 【解析】（1）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d）， 化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4， 当d=0时，an=2， 当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。 （2）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800， 第 13 页，共 15 页

此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立， 当an=4n﹣2时，Sn=

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41， 综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n， 当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．

=2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

下面证明m57时，QAQB恒成立． 416

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当直线l的斜率为0时，结论成立；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为xty1，Ax1,y1，Bx2,y2，

x2y21，得(t22)y22ty10， 由xty1及22t1,y1y22所以0，∴y1y22． t2t2x1ty11，x2ty21，

551111∴(x1,y1)(x2,y2)(ty1)(ty2)y1y2=(t21)y1y2t(y1y2)＝

4444416112t12t22t2172． (t1)2t2t24t2162(t22)161657综上所述，在x轴上存在点Q(,0)使得QAQB恒成立．

416

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