高考重难点突破---圆锥曲线中的定值问题

高考重难点突破---圆锥曲线中的定值问题

一、单选题

1．过原点的直线l与双曲线x2y26交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ） A．4 二、多选题

B．1

C．

1 2D．

1 4x2y222．ABC的三个顶点都在椭圆上，已知椭圆:221(ab0)的离心率为，设它的三条边AB，

ab2BC，AC的中点分别为D，E，F，且三条边所在直线的斜率分别k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不

为0．O为坐标原点，则（ ） A．a2:b21:2

B．直线AB与直线OD的斜率之积为2 C．直线BC与直线OE的斜率之积为1 2D．若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则

111的值为2 k1k2k33． O是坐标原点，设Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线y24x上两点，若OAOB，下列结论正确的为（ ）A．y1y2为定值 C．SAOBB．直线AB过抛物线y24x的焦点 D．O到直线AB的距离最大值为4

最小值为16

三、解答题

,的距离的2倍. 4．已知点P到A(2,0)的距离是点P到B10（1）求点P的轨迹方程；

（2）若点P与点Q关于点B对称，点C(5,8)，求QBQC的最大值；

（3）若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点M(m,0)，使MEMF恒为定值?若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

2223x2y2PF5．已知F1，2为椭圆E:221(ab0)的左､右焦点，点1,3在椭圆上，且过点F2的直线

ab

l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为43.

（1）求椭圆E的方程；

（2）对于椭圆E，问否存在实数，使得AF2BF2AF2BF2成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由.

x2y26 3A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB6．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，的面积为

ab32（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN||BM|为定值.

x2y27．已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同

43于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1，k2． （1）证明：k1·k2为定值；

（2）过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且AF22F2B，求|AB|．

8．已知双曲线的方程C:2x2y21.

（1）求点P0,1到双曲线C上点的距离的最小值；

（2）已知圆M:x2y21的切线l(直线l的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

y29．已知抛物线y2pxp0的焦点F恰为椭圆2x21a1的一个顶点，且抛物线的通径（过

a2抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程；

（2）过点F作两条直线l1，l2，且l1，l2的斜率之积为1. ∠设直线l1交抛物线于A，B两点，l2交抛物线于C，D两点，求

11的值； ABCD∠设直线l1，l2与椭圆的另一个交点分别为M，N.求FMN面积的最大值.

10．设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点. （1）设l的斜率为2，求AB的值； （2）求证：OAOB为定值.

2211．已知圆M:(x1)y11，动圆N与圆M相外切，且与直线x相切.

24(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程.

(2)已知点P(11,),Q(1,2)，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A,B（与Q点不重合），直线22QA,QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

x2y212．已知椭圆:221(ab0)经过点M(2,1)，且右焦点F(3,0).

ab（1）求椭圆的标准方程；

（2）过N(1,0)且斜率存在的直线AB交椭圆于A，B两点，记tMAMB，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1t2的值.

x2y2213．已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为2.

ab2（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设PA1AF，PB2BF，试判断12是否为定值？请说明理由.

x2y214．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆E：221(ab0) 的左、右焦

ab点，A，B分别椭圆E的左、右顶点，且AF25BF20．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D(1,0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆END并分别延长交椭圆E于点P、Q，PQ的斜率存在且分别为k1、于点N，连接MD、连接PQ，设直线MN、

k2，试问是否存在常数，使得k1k20恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

1x2y215．设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，离心率为，短轴长为

2ab23.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设左、右顶点分别为A、B，点M在椭圆上（异于点A、B），求kMAkMB的值；

a2（3）过点F2作一条直线与椭圆C交于P,Q两点，过P,Q作直线x的垂线，垂足为S,T.试问：直

c线PT与QS是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由.

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2，1)，P是动点，且kOPkOAkPA. （1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过A作斜率为1的直线与轨迹C相交于点B，点T(0，t)(t>0)，直线AT与BT分别交轨迹C于点A1B1,

设直线A1B1的斜率为k，是否存在常数λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由.

2217．已知P为圆F1：(x3)y16上一动点，点F2坐标为(3,0)，线段F2P的垂直平分线交直

线F1P于点Q.

（1）求点Q的轨迹C方程；

（2）已知B(0,1)，过点(0,2)作与y轴不重合的直线l交轨迹C于E,F两点，直线BE,BF分别与x轴交于M,N两点.试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.

18．已知在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2y21与y轴交于C，D两点，点P 在第一象限且为圆O外一点，直线PC，PD分别交圆O于点A，B，交x轴于点Q，R． （∠）若直线BD的倾斜角为60°，|AC|1，求点P坐标； （∠）过P作圆O的两条切线分别交x轴于点M，N，试问若不是，说明理由．

|MQ|

是否为定值？若是，求出这个定值：|NR|

x2y2x2y219．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：∠1(0m4)；∠1(n0)；∠

4m4ny22px(p0).请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直

线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.

（1）请求出曲线C的方程；

（2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由.

20．如图，点A为椭圆C1:x22y21的左顶点，过A的直线l1交抛物线C2:y2pxp0于B，C2两点，点C是AB的中点．

（∠）若点A在抛物线C2的准线上，求抛物线C2的标准方程：

（∠）若直线l2过点C，且倾斜角和直线l1的倾斜角互补，交椭圆C1于M，N两点， （i）证明：点C的横坐标是定值，并求出该定值： （ii）当△BMN的面积最大时，求p的值．

x2y221．已知椭圆C：221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，焦距为2，且经过点Qab21，2.直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M. （1）点P在椭圆C上，求PF的取值范围； 1PF2

（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；

2x2y222．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，点A,B,D,E分别是C的左､右､上､下顶点，且四

3ab边形ADBE的面积为65. （1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线AP,BQ的交点为T，求证：点T在定直线l上，并求出直线l的方程.

x2y2323．已知椭圆E:221ab0的左、右顶点分别为A，B，离心率为，过点P1,0作直

ab2线交椭圆于点C，D（与A，B均不重合）.当点D与椭圆E的上顶点重合时，AD5. （1）求椭圆E的方程

k1（2）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值.

k2

x2y2224．已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线

ab2段长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点A(1,0)，B(4,0)，过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：

|MB||NA||MA||NB|．

x2y2225．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为2.

ab2（1）求椭圆C的标准方程 ；

（2）过点 F 的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴 于P点，设PA1AF,PB2BF，试判断12是否为定值？请说明理由．

y226．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点P为椭圆C1:x1的上顶点.椭圆C2以椭圆C1的

22长轴为短轴，且与椭圆C1有相同的离心率. （1）求椭圆C2的标准方程；

（2）过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2，直线l1与椭圆C1,C2分别交于点A,B，直线l2与椭圆

C1,C2分别交于点C,D.

（i）当PB8PA时，求点A的纵坐标； 5PAPC为定值. PBPD（ii）若A,C两点关于坐标原点O对称，求证：

四、填空题

x2y226．已知A、B分别是双曲线C:221(a0,b0)的左右顶点，M是双曲线上异于A、B的动点，若

ab直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，始终满足f______ ．

xkfk，其中f(x)ln，则C的离心率为

122

x2y227．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆221(ab0)的左、右焦点，B，C分别为

ab椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若F1BF2的面积为______.

52b，则直线CD的斜率为12