数学建模竞赛试题
B题：如何进行人员分配
“A公司”是一家从事建筑工程的公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示：
表1 人员结构及工资情况
人员 工资情况 人数 日工资（元） 高级工程师 9 250 工程师 17 200 助理工程师 10 170 技术员 5 110 目前，公司承接4个工程项目，其中2项是现场施工，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不同，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2：
表2 不同项目和各种人员的收费标准
人员 项目 A 收费 （元/天） B C D 高级工程师 1000 1500 1300 1000 工程师 800 800 900 800 助理工程师 600 700 700 700 技术员 500 600 400 500 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：
表3 各项目对专业技术人员结构的要求
项目 人员 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计
1
A 1~3 B 2~5 C 2 D 1~2 2~8 2 2 1 10 2 2 3 16 2 2 1 1 —— 11 18
说明：
（1）项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
（2）高级工程师相对稀少，而且是保证质量的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备要求不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
（3）各项目客户对总人数都有限制；
（4）由于C，D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支；
由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41，应如何合理地分配现有的人员力量，使公司每天的直接受益最大？
2
题 目 如何进行人员分配 目录 一、问题重述 二、问题分析 三、问题假设 四、模型建立 五、模型求解 六、结果分析 七、模型评价 八、模型改进
一、问题重述
企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。那么，为了获得最大收益，A公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢？本文中，我们将重点对该问题进行分析。
二、问题分析
该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。公司的
3
主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。公司的直接收益是总收入减去总支出。A公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下： 人员 项目 A 利润 （元/天） B C D 高级工程师 750 1250 1000 700 工程师 600 600 650 550 助理工程师 430 530 480 480 技术员 390 490 240 340 注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值
同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的41名技术人员对最大55个可用岗位进行安排。
从以上分析结果，我们可以确定这是一个线性规划问题，对公司现有的各级别技术人员进行合理的任务安排，可以使公司获得一个最大利润。接下来，我们就将问题转化到如何将A公司各级别技术人员安排到55个岗位上来，使公司获得最大利润。
三、问题假设
1、公司的现有技术人员数量和结构保持不变，即公司不会再临时招聘专业技术人员；
2、一旦任务分配好之后，不会再出现人员变动的情况，并且不可能出现同一个技术人员同时担任两个项目的工作；
3、对项目的收费标准和专业技术人员的工资水平保持不变；
4、排除人员因生病、请假等不能正常工作的情况，排除天气对项目进行的影响；
四、模型建立
1、决策变量：
4
对各项目分配的技术人员数目设如下变量： 项目 人员数目 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 2、目标函数：
设公司每天的利润为M元，根据利润表和人员分配表，公司每天的总利润可以表示为：
M=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
3、约束条件：
（1) 各项目的不同技术人员数量约束如下： 1≤x11≤3 2≤x12≤5 x13=2 1≤x14≤2 x21≥2 x22≥2 x23≥2 2≤x24≤8 x31≥2 x32≥2 x33≥2 x34≥1
5
A x11 x21 x31 x41 B x12 x22 x32 x42 C x13 x23 x33 x43 D x14 x24 x34 x44 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x44
x41≥1 x42≥3 x43≥1 x44=0
（2）各项目安排的总人员约束如下： x11+x21+x31+x41≤10 x12+x22+x32+x42≤16 x13+x23+x33+x43≤11 x14+x24+x34+x44≤18
（3）各级别技术人员总数约束如下： x11+x12+x13+x14≤9 x21+x22+x23+x24≤17 x31+x32+x33+x34≤10 x41+x42+x43+x44≤5
五、模型求解
对于这种整数规划类型的问题，可以用分支定界法来进行求解。但是由于该模型的变量比较多，用分支定界法进行手工求解是比较麻烦的，而lingo软件求解整数规划问题时，正是基于这种方法，所以我们可以借助lingo软件进行求解。编写lingo程序如下：
model:
max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+ 600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x44; x11+x12+x13+x14<=9; x21+x22+x23+x24<=17; x31+x32+x33+x34<=10; x41+x42+x43+x44<=5; x11+x21+x31+x41<=10; x12+x22+x32+x42<=16; x13+x23+x33+x43<=11; x14+x24+x34+x44<=18;
6
x11>=1; x11<=3; x12>=2; x12<=5; x13=2; x14>=1; x14<=2; x21>=2; x22>=2; x23>=2; x24>=2; x24<=8; x31>=2; x32>=2; x33>=2; x34>=1; x41>=1; x42>=3; x43>=1; x44=0; End
运行程序（运行结果见附录一），求得最优解为27150 元，即为公司每天最大直接收益。
各项目的专业技术人员最优分配表如下： 项目 人员 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计
A 1 6 2 1 10 B 5 3 5 3 16 C 2 6 2 1 11 D 1 2 1 0 4 总计 9 17 10 5 41 六、结果分析
从运行结果（详见附录一）可以看出，公司的41名技术人员都能分配到任务，且完全符合各项目对技术人员结构的要求。而且，从其“影子价格”一栏可得知，在其他条件不变的情况下，每增加一名高级工程师，公司的最大直接收益
7
就增加700元；每增加一名工程师，公司的最大直接收益就增加550元；每增加一名助理工程师，公司的最大直接收益增加480元；每增加一名技术员，公司的最大直接收益增加440元。因此，在不影响公司正常业务的情况下，应减少助理工程师和技术员的人数，增加高级工程师和工程师的人数，以使公司获得最大的直接收益。
七、模型评价
1．模型优点：
（1）该模型对问题用线性规划进行分析，而且列出了利润表对问题进行简化，使得问题变得简单，也减少了模型变量的数量，使得分析问题变得简单； （2）结果分析了各级别技术人员数量增加时对企业利润的影响，给人力资源结构调整作了一个参照，以及今后公司扩展业务时应该招聘的人员比例。 2．模型缺点：
（1）本模型忽略了实际作业时的多种因素，例如天气、人员缺勤等不确定因素； （2）本模型未对公司实际作业时的其他支出进行考虑，如购买工具、设备折旧等；
八、模型改进
四个项目同时要求的总人数为55人，而公司实际人口为41人，如果公司招聘更多的技术人员会使利润增加，但应该招多少高级工程师、工程师、助理工程师和技术员，才能使公司的直接收益最大呢？下面我们对此问题进行求解。假设其他条件不变，新招聘的技术人员的工资标准和现有人员的相同。我们编写如下lingo程序并进行求解： model:
max=750*x11+1250*x12+1000*x13+700*x14+
600*x21+600*x22+650*x23+550*x24+ 430*x31+530*x32+480*x33+480*x34+ 390*x41+490*x42+240*x43+340*x44;
8
x11+x21+x31+x41<=10; x12+x22+x32+x42<=16; x13+x23+x33+x43<=11; x14+x24+x34+x44<=18; x11>=1; x11<=3; x12>=2; x12<=5; x13=2; x14>=1; x14<=2; x21>=2; x22>=2; x23>=2; x24>=2; x24<=8; x31>=2; x32>=2; x33>=2; x34>=1; x41>=1; x42>=3; x43>=1; x44=0; End
结果（详见附录二）显示：当招录高级工程师3人，工程师7人，助理工程师4人时，公司的直接收益最大，且最大收益为35020元。 各项目的专业技术人员最优分配表如下： 项目 人员
A B 9
C D 总计
高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 总计 3 4 2 1 10 5 6 2 3 16 2 6 2 1 11 2 8 8 0 18 12 24 14 5 55 表中的各级别的技术人员比例是最优的人员配置，当A公司保持这种人员比例时，会使公司的利润最大化。这就给今后公司的进行人员招聘提供了一个比较科学的参照。
10
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容