模拟试题一(解答)

课程名称：《高等数学》(理工类) 考试时间120分钟

题号 得分 一 21 二 三 四 五 六 七 八 得分 评分人 总分 21分 总分人 一、单项选择题(8个小题，每小题3分，共24分) 1. limx0tanxsinx=【 C 】x3√

(A) - 0； (B)  ； (C)

13xcos2．设函数f(x)xaxb1； (D) 2 ； 2x0x0在x0可导，则【 A 】

√

(A)a0,b0；(B)a0,b1；(C)a0,b为任意常数；(D)a1,b为任意常数； 3．已知f(x)dxF(x)C，则f(35x)dx【 D 】(A) F(35x)C (B) 5F(35x)C (C) 4．广义积分

√

11F(35x)C (D) F(35x)C 550tetdt【 C 】

√

√

(A) 发散 (B) 1 (C) 1 (D)

5．函数yxx(x0)的极小值为在x【 B 】时取得。

11(A) 1； (B) ； (C) e； (D) ee；

exy6．设f(x,y)x2y20x2y20x2y20，则在(0,0)处有【 D 】 ×， A

(A) f(x,y)在(0,0)不连续； (B) f(x,y)在(0,0)偏导数不存在 (C) f(x,y)在(0,0)连续且偏导数存在但不可微； (D) f(x,y)在(0,0)可微 （在(x,y)0时，f(x,y)的极限不存在）

nn11n7．级数 ① ( ③ (1)nn中收敛 )， ② (1)n331n1n1n1n1的级数有：【 C 】

√

√

(A) ① (B) ② (C) ②③ (D) ①②③

231042118. 行列式的值为：【 C 】

21210110 (A) 0 (B) 2 (C) 8 (D) 8

二、填空题(5个小题，每题4分，共20分) 9．若limx得分 评分人 8分 x2x1axb0，则a 1 ，b 0 ；

√

xa(costtsint)d2y10．设函数yf(x)由参数方程所确定，则2= ；×

dxya(sinttcost)

dya(sinttcost)a[(sint)(tcost)]a[cost(t)costt(cost)]dyt解： dta[(cost)(tsint)]a[sint(t)sintt(sint)]dxdxa(costtsint)tdtsinta(costcosttsint)tant

a(sintsinttcost)costd2yd1122(tant) sect(tant)tsecttx2dxdxxta(costtsint)t11sectsec2ta(sintsinttcost)atcost21atcos3t

11．解：22(sin5xcos5x)dx= 1/2 ；×

22(sinxcosx)dx5522sinxdx522cosxdx02520cos5xdx

411616161622I52I12cos1xdxsinx|0(sinsin0) 5315215150152x23y2z21312. 曲线在点M(1,2,1)的切线方 22z3xy程是： (x-1)/5=(y-2)/4=(z+1)/10 ；× 解 ：令F(x,y,z)2x23y2z213，G(x,y,z)3x2y2z

Fx(1,2,1)2x23y2z213x4x414

(1,2,1)(1,2,1)Fy(1,2,1)2x23y2z213y6y(1,2,1)(1,2,1)6212

Fz(1,2,1)2x23y2z213z2z2(1)2

(1,2,1)(1,2,1)所以可取 n14,12,2

G(1,2,1)3x2y2zxx6x

(1,2,1)(1,2,1)616G2,1)3x2y2y(1,zy2y(1,2,1)(1,2,1)224

G(1,2,1)3x2y2zzx1(1,2,1)(1,2,1)1

所以可取 n26,4,1

ijkn1n241224i16j88k

641直线的方向向量可取：s1,4,22 所求切线方程为：

x1y2z14122 13．以yCx3为通解的微分方程是： y’=3(1/x)y ； 解： 一阶线性齐次方程 yP(x)y0的解为：yCeP(x)dx

观察此题可知，yCx3应为一阶线性齐次方程的解。 此处 eP(x)dxx3， 即eP(x)dxelnx3，eP(x)dxe3lnx

从而P(x)dx3lnx

√所以

3P(x)，

x3y0 x微分方程为：y

三、计算证明题(7个小题，每题8分，共56分，要求有必要的解题步骤) 14．过点A(2,1,3)作直线

解 过点A作平面垂直于已知直线，平面的方程为

x1y2z1的垂面，求点A到直线的距离； 2112(x2)(y1)(z3)0 ，即 2xyz0．

下面求直线L与平面的交点Q，PQ的长就是P到L的距离。

x12t将L的方程转化参数方程y2t，联合平面方程2xyz0得

z1t12(12t)(2t)(1t)0， 即 t．

612135将t代入L的参数方程中得：x，y，z．

63662135,)． 即Q点坐标为 (,366点P到L的距离 d|PQ|1586322135． (2)2(1)2(3)233666

15．计算二重积分：

yed；其中D是由直线yx和曲线y1及y轴所围成的积分区域． D2 -1/2[(e^-1)-1}

√

解： 积分区域D如右图

积分区域D用不等式组可表示为0y1

0xy

1y2yey2dxdy1ey2ydxdy1ey2(y0)dy ed00000D211y21ed(y2)ey202101(1e1)． 2

16. 求微分方程的通解：y2yyex(xe2x)；

解：对应齐次方程y2yy0的特征方程为 r22r10.

特征根 r1r21.

所以, 对应齐次方程通解为：Y(C1C2x)ex. 原方程变为：y2yyxexex

现分别求方程y2yyxex和y2yyex的一个特解。

对于方程y2yyxex，由于这里1 是二重特征根，可设其特解为 y1*x2(AxB)ex

则 y1*(Ax3Bx23Ax22Bx)ex[Ax3(3AB)x22Bx]ex

y1*[Ax3(3AB)x22Bx3Ax22(3AB)x2B]ex

[Ax3(6AB)x2(6A4B)x2B]ex

将 y1*、y1*、y1*代入方程y2yyxex得

[Ax3(6AB)x2(6A4B)x2B]ex2[Ax3(3AB)x22Bx]exx2(AxB)exxex 化简得 (6Ax2B)exxex

6A11比较系数得，从而A，B0

62B0方程y2yyxex，的一个特解为 y1*13xxe 6对于方程y2yyex，由于这里1 不是特征根，可设其特解为 y2*(AxB)ex 则 y1*[A(AxB)]ex(AxAB)ex

y1*[A(AxAB)]ex(Ax2AB)ex

将 y1*、y1*、y1*代入方程y2yyex得

(Ax2AB)ex2(AxAB)ex(AxB)exex 化简得 (4Ax3A4B)exex

4A01比较系数得，从而，A0，B

43A4B11xe 413x1x故方程y2yyxexex，的特解为 y*xee

64方程y2yyex，的一个特解为 y1*因此 原方程组y2yyex(xe2x)的通解为：

yYy*(C1C2x)ex13x1xxee 6417. 求级数

n1xn的和函数。

n(n1)解：因为

111 ， n(n1)nn1 级数

n1xnxn1xn1xnxn， ()n(n1)n1nn1nxn1n1n1xnxn1， S2(x)， nn1n1令S1(x)n1nn1xxn12n1， S1(x)x1xxxnn1xn1n1n1xxx11dxd(1x)=ln|1x|， S1(x)S1(x)dx001x01xn1n1xxxn2n1， S2(x)xxxxn1n11xn1n1n1xx(1x)1xxdxd(1x) S2(x)S2(x)dx0001x1xxxxx111(1)dxdxdxxd(1x)xln|1x|

0001x01x1x111所以 S(x)S1(x)S2(x)ln|1x|(xln|1x|)1(1)ln|1x|

xxx (1|x|1) .

x15x2x3x41x7xx3x3123418. 当参数a为何值时，非齐次方程组 有解？当它有解时，求出通解。

3x117x2x3x4ax13x23x35x45

15111r(1)rr3(3)r133r34(1)r11711解：(A,b)31711a133551r3(1)r204(1)r2r00103r4r00101(5)r2r0051111r22122446r4000a1060010001511124402 0224a30244451111122 000a101005100011022

10000a151111r(1)r1122r12(1)r330010000000a1010001111022(T,d) 10000a1当 a10，即a1时，系数矩阵A与增广矩阵(A,b)的秩相等。 所以当a1时，原方程组有解。此时

x111x411简化后的阶梯形矩阵(T,d)对应的方程组为x22x42

x30x11111x4即 x222x4 ， 这里x4为自由未知量。

x30取x40得x111，x22，x30；

得原非齐次方程组的一个特解：*(11,2,0,0)T

x111x40简化后的阶梯形矩阵T对应的齐次方程组为x22x40

x03x111x4即 x22x4 ，这里x4为自由未知量。

x03取x41得x111，x22, x30；

于是得到对应齐次方程组的一个基础解系：(11,2,0,1)T 因此所给原非齐次方程的通解为：

x*k，其中k为任意常数。

19．设f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且f(0)0，f(1)f(2)3，证明：存在

(0,2)，使得f()2； 证明：

设F(x)f(x)2x ，则F(x)f(x)2

由于f(x)在[0,2]上连续， 从而f(x)在[1,2]上连续。 因此 F(x)在[1,2]上连续。又

F(1)f(1)213210；F(2)f(2)223410 根据方程根的存在定理知：

在(1,2)内至少存在一点，使F()0 由于f(x)在[0,2]上连续，在(0,2)内可导。 从而f(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导。 所以 F(x)在[0,]上连续，在(0,)内可导。 又F(0)f(0)20000 所以F(0)F()

因此F(x)在[0,]上满足罗尔定理的条件 所以 (0,)内至少存在一点，使 F()0 即f()2 由于(1,2)

因此存在(0,1)，使得f()2。

x2y220. 设有一高度为h的谷堆，其侧面满足方程zh，求该谷堆的侧面积与体积；

h解：令 z0得谷堆的底面边界曲线：x2y2h2 谷堆的底面区域D为 (x,y)x2y2h2

02 谷堆的底面区域D的可在极坐标系下表示为：

0rhx2y2由于的谷堆的侧面方程为：zh

hx2y2zxhh2xx2y2yhh，zhx2y hy由谷堆的侧面积为：

22S1(zx)(zy)d1(DD2x22x)()2d hhD2h4r242212(xy)d12rdrd

00hh21h21h4r22012d(r)d0h22420h04r24r212d(12)d

hh22h08204r1h223h2322232h14h102d d208h0h2h2(551)d(551)88204(551)h2 。

谷堆的体积为：

2hr2x2y2)d00(h)rdrd vzd(hhhDD21h1r3(hr)drd0hr2r4d 04h0h202112h3dh30h3 04422h