2014-2015学年宁夏固原一中高二（下）第三次月考数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．复数z=
在复平面上对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（ ）
A． C4H9
B． C4H10
2
C． C4H11 D． C6H12
3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A． 假设a，b，c不都是偶数 B． 假设a，b，c都不是偶数
C． 假设a，b，c至多有一个是偶数 D． 假设a，b，c至多有两个是偶数
4．函数f（x）=x+ax+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
5．若曲线y=x+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ） A． a=1，b=1 B． a=﹣1，b=1 C． a=1，b=﹣1 D． a=﹣1，b=﹣1
6．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（ ）
2
3
2
A． B． C．
D．
3
2
7．已知f（x）=2x﹣6x+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为（ ） A． ﹣5 B． ﹣11 C． ﹣29 D． ﹣37
8．曲线y=cosx（0≤x≤ A． 4
9．若函数f（x）=xlnx的图象在x=1处的切线为l，则l上的点到圆x+y+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离是（ ） A．
2
2
2
）与坐标轴围成的面积是（ ） B．
C． 3
D． 2
B． C． D． 1
10．若f（x）=﹣x+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（ ） A． [﹣1，+∞） B． （﹣1，+∞） C． （﹣∞，﹣1]
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 11．
12．若f（x）=x，f′（x0）=3，则x0的值为 ．
13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= ．
14．用数学归纳法证明1+2+3+…+n=上 ．
2
3
D． （﹣∞，﹣1）
= ．
，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加
三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
22
1）已知复数（m﹣5m+6）+（m﹣3m）i是纯虚数，求实数m的值； （2）把复数z的共轭复数记做，已知（1+2i）=4+3i，求z及．
16．计算：
2
（1）y=sin（2x+x）求y′
x
（2）y=2lnx求y′ （3）∫（4）∫
17．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣
2
0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
18．已知函数f（x）=4x+ax+bx+5在x=﹣1与x=处有极值． （1）写出函数的解析式； （2）求出函数的单调区间；
（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．
19．在数列{an}中，a1=2，an+1=
（n∈N），
*
3
2
|x|dx
dx．
（1）求a2，a3，a4；
（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（2﹣a）x． ①讨论f（x）的单调性：
②设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）．
2
2014-2015学年宁夏固原一中高二（下）第三次月考数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．复数z=
在复平面上对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置． 解答： 解：∵z=
=
=+i，
∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A． 点评： 本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．
2．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（ ）
A． C4H9 B． C4H10 C． C4H11 D． C6H12
考点： 类比推理． 专题： 规律型． 分析： 由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，即可选出答案． 解答： 解：由前三种化合物的结构式及分子式的规律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C两个H，
故后一种化合物的分子式是C4H10 故选B 点评： 本题考查归纳推理、考查观察、归纳能力．
3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ） A． 假设a，b，c不都是偶数 B． 假设a，b，c都不是偶数
C． 假设a，b，c至多有一个是偶数 D． 假设a，b，c至多有两个是偶数
考点： 反证法与放缩法． 专题： 证明题；反证法． 分析： 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．
解答： 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”． 即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数 故选：B． 点评： 一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．
4．函数f（x）=x+ax+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用． 分析： 先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．
2
解答： 解：对函数求导可得，f′（x）=3x+2ax+3 ∵f（x）在x=﹣3时取得极值 ∴f′（﹣3）=0⇒a=5 故选：D． 点评： 本题主要考查函数在某点取得极值的性质．属基础题．比较容易，要求考生只要熟练掌握基本概念，即可解决问题．
5．若曲线y=x+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（ ） A． a=1，b=1 B． a=﹣1，b=1 C． a=1，b=﹣1 D． a=﹣1，b=﹣1
考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题；数形结合． 分析： 根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线x﹣y+1=0上求出b即可． 解答： 解：∵y′=2x+a|x=0=a，
2
∵曲线y=x+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1=0的斜率为1，
2
3
2
2
∴a=1，
又切点在切线x﹣y+1=0上， ∴0﹣b+1=0 ∴b=1． 故选：A． 点评： 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程，属于基础题．
6．f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（ ）
A． B． C．
D．
考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 图表型． 分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
解答： 解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减； ﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增； x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减． 则符合上述条件的只有选项A． 故选A． 点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．重点是理解函数图象及函数的单调性．
7．已知f（x）=2x﹣6x+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为（ ） A． ﹣5 B． ﹣11 C． ﹣29 D． ﹣37
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出m，即可求出函数的最小值．
3
2
解答： 解：函数的导数为f′（x）=6x﹣12x=6x（x﹣2）， 由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜2，此时函数递减， ∵x∈[﹣2，2]，
∴函数在[﹣2，0]上递增，则[0，2]上递减， 则函数的最大值为f（0）=m=3，
则f（x）=2x﹣6x+3，
32
∵f（2）=2×2﹣6×2+3=﹣5，
32
f（﹣2）=2×（﹣2）﹣6×（﹣2）+3=﹣37， ∴当x=﹣2时，函数取得最小值为﹣37， 故选：D 点评： 本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数在闭区间上的最值是解决本题的关键．
8．曲线y=cosx（0≤x≤ A． 4
）与坐标轴围成的面积是（ ） B．
C． 3
D． 2
3
2
2
考点： 余弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤
）
与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．
）与坐标轴围
解答： 解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤
成的面积是3=3sinx=3，
故选：C． 点评： 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题．
9．若函数f（x）=xlnx的图象在x=1处的切线为l，则l上的点到圆x+y+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离是（ ）
A． B． C． D． 1
考点： 两点间的距离公式． 专题： 计算题． 分析： 先对函数进行求导，把x=1代入求得切线的斜率，进而利用切点求得切线的方程，整理圆的方程为标准方程求得圆心和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到切线的距离，减去半径的长即是l上的点到圆的最小距离．
2
2
解答： 解：y'=1•lnx+x•=lnx+1 x=1，y'=0+1=1 即切线斜率是1 x=1，y=1×0=0 ∴切点为（1，0）
所以切线方程为x﹣y﹣1=0
整理圆的方程得（x+2）+（y﹣1）=1，故圆心为（﹣2，1）， ∴圆心到切线的距离为
=2
2
2
则切线与圆的位置关系为相离，圆的半径为1， ∴l上的点到圆的点的最小距离为2﹣1 故选C 点评： 本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，直线与圆的位置关系，导函数求切线的问题．考查了学生综合基础知识的应用和数形结合思想的应用．
10．若f（x）=﹣x+bln（x+2）在（﹣1，+∞）上是减函数，则b的取值范围是（ ） A． [﹣1，+∞） B． （﹣1，+∞） C． （﹣∞，﹣1] D． （﹣∞，﹣1）
考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案． 解答： 解：由题意可知
，在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
2
即b＜x（x+2）在x∈（﹣1，+∞）上恒成立，
由于y=x（x+2）在（﹣1，+∞）上是增函数且y（﹣1）=﹣1，所以b≤﹣1， 故选C 点评： 本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题．即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 11．
考点： 定积分． 专题： 计算题．
分析： 由积分的几何意义可知，面积，求解出图形的面积即可 解答： 解：由积分的几何意义可知，图形的面积 而y=
与x轴围成的图形是以原点为圆心，以3为半径的圆的上半圆
= ．
是曲线y=与x轴围成的图形的
是曲线y=与x轴围成的
∴S=故答案为：
=
点评： 本题主要考查了积分的几何意义在积分求解中的应用，属于基础试题
12．若f（x）=x，f′（x0）=3，则x0的值为 ±1 ．
考点： 导数的几何意义；导数的运算． 专题： 计算题．
分析： 先对函数f（x）进行求导，然后将x0代入导函数建立等量关系，求出x0即可．
3
解答： 解：∵f（x）=x
22
∴f′（x）=3x则f′（x0）=3x0=1 解的x0=±1， 故答案为±1 点评： 本题主要考查了导数的运算，以及导数的几何意义，属于基础题．
13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=
R（S1+S2+S3+S4） ．
3
考点： 类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
解答： 解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R， 所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．
点评： 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
14．用数学归纳法证明1+2+3+…+n=
2
2
2
2
2
，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上
（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（k+1） ．
考点： 数学归纳法．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n=
2
时，当n=k+1时左端应在n=k
的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．
2
解答： 解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k，
22222
当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k+（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（k+1），增加了2k+1
2222
项．即（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（k+1）
2222
故答案为：（k+1）+（k+2）+（k+3）+…+（k+1） 点评： 此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．
三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
22
1）已知复数（m﹣5m+6）+（m﹣3m）i是纯虚数，求实数m的值； （2）把复数z的共轭复数记做，已知（1+2i）=4+3i，求z及．
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： （1）由纯虚数定义得
，由此能求出m的值．
（2）设z=a+bi，由（1+2i）=4+3i，得（1+2i）（a+bi）=4+3i，由此能求出z=2﹣i，=
=
．
2
2
解答： 解：（1）∵复数（m﹣5m+6）+（m﹣3m）i是纯虚数， ∴
，解得m=2．
（2）设z=a+bi，则=a﹣bi， ∵（1+2i）=4+3i， ∴（1+2i）（a+bi）=4+3i，
2
∴a+2ai+bi+2bi
=（a﹣2b）+（2a+b）i =4+3i， ∴
∴z=2﹣i， ∴=
=
，解得a=2，b=﹣1，
==．
点评： 本题考查实数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，是基础题．
16．计算：
2
（1）y=sin（2x+x）求y′
x
（2）y=2lnx求y′ （3）∫（4）∫
|x|dx
dx．
考点： 导数的运算；定积分． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据求导法则和定积分公式计算即可．
2
解答： 解：（1）∵y=sin（2x+x）
22
∴y′=cos（2x+x）（2x+x）′，
2
∴y′=（4x+1）cos（2x+x）；
x
（2）∵y=2lnx， ∴y′=2ln2•lnx+（3）∫（4）∫
|x|dx=
dx=ln（x﹣1）
x
；
=
=8+4=12；
=ln（e+1﹣1）﹣ln（2﹣1）=1．
点评： 本题主要考查了导数的运算法则和微积分基本定理，属于基础题．
17．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣
2
0.15x和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题． 分析： 先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可． 解答： 解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，
则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x+2（15﹣x）=﹣0.15x+3.06x+30， 当x=10.2时，S取最大值
又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．
即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元 点评： 本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．
18．已知函数f（x）=4x+ax+bx+5在x=﹣1与x=处有极值．
3
2
2
2
（1）写出函数的解析式； （2）求出函数的单调区间；
（3）求f（x）在[﹣1，2]上的最值．
考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）首先求出函数的导数，然后f′（﹣1）=0，f′（）=0，解出a、b的值，即可写出函数的解析式；
（2）利用导数的正负，求出函数的单调区间；
（3）确定函数在[﹣1，2]上的单调性，即可求f（x）在[﹣1，2]上的最值． 解答： 解：（1）f′（x）=12x+2ax+b，依题意有f′（﹣1）=0，f（）=0，
2
即
3
，得
2
，
所以f（x）=4x﹣3x﹣18x+5；
2
（2）f′（x）=12x﹣6x﹣18＜0，
∴（﹣1，）是函数的减区间，（﹣∞，﹣1），（，+∞）是函数的增区间； （3）函数在[﹣1，]上单调递减，在[，2]上单调递增， ∴f（x）max=f（﹣1）=16，f（x）min=f（）=﹣
．
点评： 此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．
19．在数列{an}中，a1=2，an+1=
（n∈N），
*
（1）求a2，a3，a4；
（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
考点： 数学归纳法． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）由a1=1，an+1=（2）由（Ⅰ）可猜想an=
，即可求得a2，a3，a4的值；
；分二步证明即可：①当n=1时，去证明等式成立；②假
设n=k时，等式成立，去推证n=k+1时，等式也成立即可． 解答： 解：（1）∵a1=2，an+1=
，
∴a2=
=；
a3=
==
，a4=
=；
（2）由（1）可猜想：an=
．
证明：①当n=1时，a1=2，等式成立； ②假设n=k时，ak=
，
则当n=k+1时，ak+1=即n=k+1时，等式也成立．
===，
综上所述，对任意自然数n∈N，an=
*
．
是关键，考查运
点评： 本题考查数列递推式，着重考查数学归纳法的应用，猜得an=算与推理证明的能力，要求熟练掌握数学归纳法的证明过程和步骤．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（2﹣a）x． ①讨论f（x）的单调性：
②设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）．
2
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．
分析： ①求导，并判断导数的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间． ②构造函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可．
解答： 解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ∵f（x）=lnx﹣ax+（2﹣a）x， ∴f'（x）=
=
=
．
2
（1）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减． （2）当a≤0时，f'（x）＞0恒 成立， 因此f（x）在（0，+∞）单调递增．
②设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g′（x）=，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0， ∴g（x）＞0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）．
点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．
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